Inverse matrices, column space and null space

미지수와 미지수의 스케일링 배의 합으로 이루어진 식은 위처럼 행렬로 바꾸어 쓸 수 있다.

스케일링 수를 행렬로 미지수를 벡터로 상수를 상수 벡터로 표현했다.

 

벡터 x를 찾는 것은 어떤 벡터에 선형 변환했을 때 v벡터가 되는 어떤 벡터를 찾는 것과 같다.

Determinant가 0인 경우 벡터 v에 A 반대로 선형변환하면 벡터 x를 찾을 수 있다. A 반대로 선형변환하는 행렬을 A의 역행렬이라고 한다.

예를 들어 아래 그림처럼 시계 반대방향으로 90도 회전하는 선형변환이 있다면

이 선형변환의 역은 시계 방향으로 90도 회전이다.

A에 A의 역행렬을 곱하면 따라서 아무 변환도 하지 않은 행렬이 된다.

 

Determinant가 0인 행렬 A는 역행렬 A가 존재한다.

하지만 Determinant가 0이면 역행렬 A는 존재하지 않는다.

선을 돌려서 다시 평면으로 바꿀 순 없다.

det가 0일 때는 특수한 경우에만 해를 구할 수 있다.

벡터 v가 축소된 line위에 위치할 때는 해가 있다. 그렇지 않으면 해는 존재하지 않는다.

선형변환 한 어떤 공간안의 어떤 벡터가 몇 차원에 존재하는지 가리키는 용어로 rank를 사용한다.

만약, 모든 벡터가 2차원에 존재하면 이를 Rank 2라고 한다.

2x2 행렬이 가질 수 있는 최대 Rank는 2이다. 이는 기저벡터를 확장시켜 온전한 2차원 공간을 만들 수 있다는 의미다.

그러나 3x3 행렬에서 Rank가 2라는 의미는 공간이 축소되었음, Determinant가 0임을 의미한다. 또, Rank 1보다는 덜 축소했다는 것을 의미한다.

 

열 공간은 span of columns 이다.

full rank 변환은 칼럼의 개수와 rank가 같을 때를 의미한다.

모든 열공간에는 0벡터가 있다. (선형변환은 항상 원점 고정이어야 한다.)

ful rank 변환은 1개의 0벡터가 있다.

rank가 작아지면 0벡터가 되는 수 많은 벡터가 있다.

0 벡터로 이동하는 모든 벡터를 null space 또는 kernel이라고 부른다.

 

예를 들어 벡터 v가 0 벡터라면 null space가 해가 될 수 있다.

 

참조 : Inverse matrices, column space and null space | Chapter 7, Essence of linear algebra - YouTube