성댕쓰 똑똑한 생활

trigonometry는 상식과 달리 원에 관한 것이다. 보통 생각하는 삼각함수의 정의는 다음과 같다. 원의 반지름이 1이라고 가정했을 때, 호 위의 좌표는 cos(t), sin(t)이다. 정삼각형 성질을 이용하여 pi/6 각도의 sin, cos 값을 알 수 있다. sin(pi/6) = 1/2, cos(pi/6) = √3/2 이다. 그리고 다음과 같은 식도 알아낼 수 있다. tan은 어떻게 생각하면 좋을까? 따라서, tan 그래프는 아래와 같다. 반지름이 1인 원을 이용하면, cos제곱, sin제곱을 표현할 수 있다. 그리고 가정에 의해 sin제곱 + cos제곱 은 1이다. 참조 : (6) Trigonometry fundamentals | Ep. 2 Lockdown live math - YouTube

똑똑한 개발/수학 2022. 6. 2. 23:28

함수는 다른 타입의 벡터로 볼 수 있다. 함수의 합이 위의 성질을 갖고 있고, 스케일링이 아래의 성질을 갖는다면 말이다. 이러한 함수는 지금까지 살펴본 선형대수의 기술을 적용할 수 있다. 기술은 Linear transformation, Null space, Dot products, Eigen-everything 같은 것들이 있다. 함수에 적용하는 선형변환 예를 들어보자면, 위와 같은 미분함수가 있다. 어떠한 변환이 선형변환이려면 다음과 같은 특징을 갖춰야 한다. Additivity Scaling 이를 선형변환은 addition과 scaler multiplication을 보존한다라고 표현한다. 2D 공간에서 이를 표현하면 선형변환이 Grid line을 평행하고 같은 너비만큼 떨어져 있는다. 벡터와 같은 것..

똑똑한 개발/수학 2022. 5. 28. 22:51

2x2 행렬인 경우 보다 쉽게 eigenvalue를 구하는 방법이 있다. 먼저 다음과 같은 성질이 있음을 알아 두자. 람다 1 람다 2는 어떤 선형변환 행렬의 eigenvalue이다. 3은 1과 2를 통해 알아 낼 수 있는데, 1에서 eigenvalues에 평균을 구할 수 있고, 평균에서 같은 거리 만큼 떨어져 있는 두 수의 곱이 2를 만든다. 참조 : (3) A quick trick for computing eigenvalues | Chapter 15, Essence of linear algebra - YouTube

똑똑한 개발/수학 2022. 5. 26. 22:02

Eigenvectors, eigenvalues에 대해 알아보자. 위 그림처럼, 임의의 벡터와 벡터를 지나는 span이 있다. 왼쪽 위 상단에 보이는 matrix만큼 선형변환하면 span과 그 위에 있던 벡터는 서로 떨어진다. 그러나 어떤 벡터는 span과 떨어지지 않는데 이를 eigenvectors라고 하고 eigenvectors가 얼만큼 scale 되었는지를 eigenvalue라고 한다. 3차원 공간에서 eigenvector는 eigenvalue가 1이면 rotate axis이다. 줄거나 늘어나지 않고 선형변환을 가해도 변하지 않는 벡터를 중심으로 선형변환이 이루어지는 것은 rotation이기 때문이다. Eigenvector와 value는 다음의 식으로 나타낼 수 있다. matrix-vector 곱이 ..

똑똑한 개발/수학 2022. 5. 22. 13:15

다른 basis vector를 가진 공간에 대해 알아보자. b1 b2 basis vector(이하 jenifer basis vector)를 가지고 있다면 노란색 벡터를 표현 할 때 [5/3, 1/3] 으로 표현한다. 일반적인 basis vector(이하 우리 basis vector)에서는 [3,2]로 표현한다. jenifer basis vector는 우리 좌표에서 [2, 1], [-1, 1]로 표현한다. 그러나 그녀의 좌표에서는 이들이 [1,0],[0,1]이다. jenifer 좌표에서 [-1,2]를 우리 좌표에서 표현하려면 우리 좌표로 표현한 그녀의 basis vector를 [-1,2]와 곱하면 된다. 이는 기하학적으로 우리 좌표를 그녀의 좌표로 변환한 것이다. 그러나 수학적으로는 jenifer basi..

똑똑한 개발/수학 2022. 5. 14. 13:42

위와 같은 문제가 묻는 것은, 기저 벡터 i, j를 문제의 행렬 열만큼 선형변환 했을 때, [-4, -2]가 되는 벡터 [x, y]가 무엇인가 이다. 벡터[x,y]와 기저벡터 i의 dot product 는 x, 벡터[x,y]와 기저벡터 j의 dot product 는 y이다. 이를 이용하여 변환 버전 벡터[x,y]와 변환버전 기저벡터의 dot product가 그대로 x, y로 가정하고 계산하는 것은 틀리다. 선형변환 전 dot product와 변환 후 dot product는 같지 않다. 하지만 orthonormal 변환인 경우 dot product는 유지된다. basis vector i hat 과 xy벡터가 만드는 평행사변형의 넓이는 y 좌표와 같다. basis vector j hat 과 xy벡터가 만드는..

똑똑한 개발/수학 2022. 5. 11. 22:44

cross product 계산할 때 다음처럼 할 수 있다. 2번째 열에 벡터 v, 3번째 열에 벡터 w를 놓고 첫 번째 열에 기저벡터 기호를 넣은 다음 determinant를 구한다. 어떻게 가능한지 알아보기 위한 계획은 다음과 같다. 1. 벡터 v와 벡터 w로 표현한 3d to 1d 선형변환을 한다. 2. 1.의 dual vector를 찾는다. 3. 2는 벡터 v와 벡터 w의 cross product이다. 먼저, 두 개의 벡터를 행렬에 넣고 고정된 값으로 생각하고 첫 열을 variable로 생각해보자. 위 식은 3차원에서 수선으로 가는 어떤 함수이다. 위 식 세 개의 벡터로 이루어진 행렬의 부피를 구해보자. 벡터 v와 벡터 w로 이루어진 평행사변형의 넓이에 x,y,z로 이뤄진 벡터를 곱하지 않고 대신,..

똑똑한 개발/수학 2022. 4. 23. 10:08

2차원 cross product는 두 개의 벡터로 만든 평행사변형 면적을 뜻함. 벡터 v가 벡터 w 오른쪽에 있으면 cross product는 양수, 반대이면 음수이다. cross product는 두 개 벡터를 하나의 행렬에 넣고 determinant를 계산하여 구한다. 벡터 두 개를 기저 벡터로 보고 선형변환으로 이해하는 방법이다. 원래 cross product는 3차원 벡터 2개를 이용해 새로운 3차원 벡터를 만들어내는 것을 말함. 2개 벡터로 만든 평행사변형 크기는 새로운 벡터의 크기이기도 하다. 벡터의 방향은 평행사변형에 수직한 방향이다. 두 개의 방향이 가능할 텐데 오른손을 이용해 어디인지 정확히 알 수 있다. 참조 : (2) Cross products | Chapter 10, Essence o..

똑똑한 개발/수학 2022. 4. 23. 08:45

Dot product는 같은 차원 두 개의 벡터를 곱하고 더하면 구할 수 있다. 이를 선형변환과 연결시켜 생각해 볼 수 있다. 먼저 벡터 v에 벡터 w를 투영한다. 두 벡터의 dot product는 투영한 벡터 w의 길이 * 벡터 v의 길이이다. 두 벡터가 같은 방향을 가리키면 dot product는 양수가 되고 반대 방향을 가리키면 음수가 된다. 두 벡터가 직각이면 dot product는 0이 된다. 두 벡터의 순서를 바꿔도 dot product 결과는 같다. dot product와 projection은 무슨 관계일까? 먼저 2차원의 벡터를 1차원으로 만드는 선형변환에 대해 살펴보자. 기저벡터의 도착지가 행렬이 열인 점을 이용해 선형변환 행렬을 만들 수 있다. 1x2 행렬과 2d vector에는 어떤 ..

똑똑한 개발/수학 2022. 4. 19. 22:21

미지수와 미지수의 스케일링 배의 합으로 이루어진 식은 위처럼 행렬로 바꾸어 쓸 수 있다. 스케일링 수를 행렬로 미지수를 벡터로 상수를 상수 벡터로 표현했다. 벡터 x를 찾는 것은 어떤 벡터에 선형 변환했을 때 v벡터가 되는 어떤 벡터를 찾는 것과 같다. Determinant가 0인 경우 벡터 v에 A 반대로 선형변환하면 벡터 x를 찾을 수 있다. A 반대로 선형변환하는 행렬을 A의 역행렬이라고 한다. 예를 들어 아래 그림처럼 시계 반대방향으로 90도 회전하는 선형변환이 있다면 이 선형변환의 역은 시계 방향으로 90도 회전이다. A에 A의 역행렬을 곱하면 따라서 아무 변환도 하지 않은 행렬이 된다. Determinant가 0인 행렬 A는 역행렬 A가 존재한다. 하지만 Determinant가 0이면 역행렬 ..

똑똑한 개발/수학 2022. 4. 13. 22:36