Matrix multiplication as composition

선형변환을 하고 거기에 또 다른 선형변환 가하는 것을 행렬로 이해해 보자.

회전 선형변환하고 밂 선형변환을 하면 이를 두 개 선형변환의 합성이라고 한다.

 

rotation

sheer

이때 i-hat은 (1, 1) j-hat은 (-1, 0)이다.

이를 하나의 행렬이 아닌 행렬의 곱으로 표현할 수 있다.

먼저 변환하는 행렬이 오른쪽에 위치한다. 순서를 바꾸면 결과는 달라진다.

 

이를 이용해 M1행렬과 M2행렬의 곱을 이해해보자. i-hat과 j-hat의 변화에 주목하면 된다.

다음과 같은 행렬 M1, M2가 있을 때,

M1을 적용했을 때 i-hat은 정의에 의해 (1,1)이다.M2를 적용했을 때 변화를 알려면 이 벡터에 M2를 곱하면 된다. 이는 이전에 살펴본 행렬 벡터 곱이다.

j-hat에 똑같이 적용하면,

 

이렇게 행렬의 곱을 구한다.

 

행렬의 곱은 선형변환 후, 선형변환 하는 것과 동일함을 기억하자.

 

참조 : (1) Matrix multiplication as composition | Chapter 4, Essence of linear algebra - YouTube