크래머 공식을 기하학적으로 이해해 보자

 

위와 같은 문제가 묻는 것은, 기저 벡터 i, j를 문제의 행렬 열만큼 선형변환 했을 때, [-4, -2]가 되는 벡터 [x, y]가 무엇인가 이다.

 

 

벡터[x,y]와 기저벡터 i의 dot product 는 x, 벡터[x,y]와 기저벡터 j의 dot product 는 y이다.

이를 이용하여 변환 버전 벡터[x,y]와 변환버전 기저벡터의 dot product가 그대로 x, y로 가정하고 계산하는 것은 틀리다.

선형변환 전 dot product와 변환 후 dot product는 같지 않다.

 

하지만 orthonormal 변환인 경우 dot product는 유지된다.

 

basis vector i hat 과 xy벡터가 만드는 평행사변형의 넓이는 y 좌표와 같다.

basis vector j hat 과 xy벡터가 만드는 평행사변형의 넓이는 x 좌표와 같다.

 

3차원에서도 마찬가지로

i,j basis vector와 xyz vector가 만드는 육면체의 부피는 z좌표와 같다. 같은 방법으로 x,y좌표를 설명할 수 있다.

 

여기서, 크래머 공식의 핵심 아이디어는

모든 area가 transformed matrix의 det만큼 scale된다는 것이다.

따라서, 다음과 같다.

위를 이용, y를 구할 수 있다.

같은 방법으로 x를 구할 수 있다.

 

같은 방법으로, 3차원에서는, transformed vector가 [7,8,3]인 경우 아래와 같다.

 

 

참조 : (2) Cramer's rule, explained geometrically | Chapter 12, Essence of linear algebra - YouTube