Change of basis

다른 basis vector를 가진 공간에 대해 알아보자.

b1 b2 basis vector(이하 jenifer basis vector)를 가지고 있다면 노란색 벡터를 표현 할 때 [5/3, 1/3] 으로 표현한다.

일반적인 basis vector(이하 우리 basis vector)에서는 [3,2]로 표현한다.

 

jenifer basis vector는 우리 좌표에서 [2, 1], [-1, 1]로 표현한다. 그러나 그녀의 좌표에서는 이들이 [1,0],[0,1]이다.

 

jenifer 좌표에서 [-1,2]를 우리 좌표에서 표현하려면 우리 좌표로 표현한 그녀의 basis vector를 [-1,2]와 곱하면 된다.

이는 기하학적으로 우리 좌표를 그녀의 좌표로 변환한 것이다.

그러나 수학적으로는 jenifer basis로 표현한 벡터를 우리 basis로 변환하여 표현한 것이다.

 

반대로도 생각해보자. 우리 좌표의 [3,2]를 jenifer 좌표로 어떻게 표현할까?

1. jennifer의 언어를 우리 언어로 표현

2. inverse한다.

 

 

다른 vector basis를 가진 공간의 좌표를 표현하는 방법을 정리하자면,

jennifer의 언어로 표현한 vector에 우리의 언어로 표현한 jennifer의 basis vector를 곱하면 우리 언어로 표현한 같은 vector의 좌표를 알 수 있다.

 

반대로, 우리의 언어로 표현한 vector에 우리의 언어로 표현한 jennifer의 basis vector의 역행렬을 곱하면, jennifer의 언어로 표현한 같은 vector의 좌표를 알 수 있다.

 

이제 선형변환할 때,  jennifer의 좌표에서 어떻게 구할 수 있는지 알아보자.

90도 rotation matrix [0,1][-1,0] 을 예로 들어보자.

jennifer 언어로 표현한 벡터[-1,2]에서 출발한다. 이를 우리의 좌표로 먼저 변환한다.

그 다음 90도 변환을 한다. 그리고 jennifer의 좌표로 바꾼다.

그래서 jennifer 좌표에서 90도 rotation 행렬은 이 행렬들의 곱이다.

참조 : (2) Change of basis | Chapter 13, Essence of linear algebra - YouTube