Linear transformation and matrices

transformation은 함수의 다른 말이다. 특정 input을 받고 어떤 값을 output한다.

 

변환이 linear 하려면 2 가지 속성을 갖춰야한다.

  - 모든 라인은 휘지 않고 직선이어야 한다.

  - 원점은 변환 이후에도 원점이어야 한다.

 

선형 변환 아님 - 직선 휘어짐.

선형 변환 아님 - 원점이 이동함

선형 변환 아님.

위 두 그림 중 첫 번째만 보았을 때 선형변환인 것처럼 보인다. 하지만 대각선을 긋고 변환하면 대각선이 휘기 때문에 선형변환이 아니다.

 

선이 평행이고 간격이 일정해야 선형 변환이다.

선이 평행이고 간격이 일정해야 선형 변환이다.

 

이러한 변환을 수치로 표현하려면 어떻게 해야 할까? 이 질문은 어떤 함수를 사용해야 선형 변환을 할 수 있는지를 묻는 것과 같다.

 

2 개의 기저 벡터가 어떻게 변하는지만 알면 된다.

 

 

변환 후 벡터 v는 변환 전 처럼 i 기저의 -1배 j기저의 2배이다.

 

i 기저는 벡터 [3,0] j 기저는 벡터 [1,-2]이다. 선형 결합을 유지 한다.

 

이를 행렬로 표현할 수 있다.

 

이를 이용하여 행렬과 행렬의 곱을 직관적으로 설명할 수 있다.

좌표 위의 x 좌표를 i 기저 벡터와 곱하고 y 좌표를 j 기저 벡터와 곱하여 더하여 새로운 벡터를 만든다.

 

행렬을 볼 때 이를 어떤 공간의 변형으로 보면 선형대수를 이해하기 쉬워진다.

 

참조 : (1) Linear transformations and matrices | Chapter 3, Essence of linear algebra - YouTube